被人稱為是“穿越者”，試圖用公式證明“神”的存在。
什麽是天賦？是從小就聰明伶俐，對所有事物都一點就通？還是對某一領域擁有濃厚的興趣，從而積累了大量的知識？又或者是遺傳了父母優秀的基因，天生就具備某種特殊的能力？今天，我們要講的這個人，將會詮釋天賦這個詞的含義。他就是被後世譽為最偉大的數學家之一的斯裏尼瓦瑟·拉馬努金。他的天賦，是一種莫名其妙的直覺。
1887 年 12 月 22 日，拉馬努金出生於印度東南部的埃羅德。雖然他出生於婆羅門種姓，但家境已經中落。他的父親是當地一家零售布點的會計，母親沒有固定的職業，全家僅靠父親微薄的收入，勉強維持著貧困的生活。
七歲的時候，拉馬努金被送到了貢伯戈納姆的一所中學讀書。在他十歲那年，他第一次接觸到了數學這門學科。當他第一次看到數學課本的時候，他就像是遇見了一位認識了很久的老朋友。從此，他便一頭紮進了數字的海洋裏。他憑借著自己的直覺，接觸到了許多高等數學的知識。要知道，在當時，他並沒有接受過正統的高等數學教育。他的身邊人甚至認為，他並不是在學習數學，而是在創造數學。拉馬努金在自己的個人自傳中解釋道，他常常會在夢中得到印度女神娜瑪卡爾的啟示，當他早上醒來的時候，他便會憑借著自己的直覺，寫下那些數學公式和命題。
雖然離開了學校，但拉馬努金卻從來沒有放棄過自己的數學夢想。他常常會一個人坐在角落裏，用自己的方法去解讀那些數字的奧秘。他的這種狀態，讓他的父母一度以為他是走火入魔了。1909 年，拉馬努金的父母為他安排了一場婚禮。結婚之後，拉馬努金開始承擔起了養家糊口的責任。但同時，他也更加渴望能夠將自己熱愛的數學變成自己的工作。他不斷地發表自己的論文，整理自己的筆記，希望能夠讓別人理解自己的數學理念。然而，他的這些數學研究，在當時的印度來說，實在是太超前了。
拉馬努金在解題的時候，總是能夠憑借著自己的直覺，給出難題的結果。但是，當別人問他是如何得出這個結果的時候，他卻總是講不清楚。因為他的解題思路和正常的數學家不太一樣。正常的數學家在麵對一道難題的時候，往往是先看問題，然後再寫出證明的過程，最後得出結果。但是拉馬努金卻是先給出結果，然後再去想辦法證明。當別人問他是如何得出這個結果的時候，他也隻能解釋說是自己的直覺。
拉馬努金的朋友艾亞爾，他是印度數學學會的創始人之一。艾亞爾主張讓拉馬努金把自己的研究成果寄給英國的數學界。拉馬努金一共寫了三封信寄往英國。但是前兩封信都石沉大海，沒有得到任何迴應。直到 1913 年 2 月 16 日，拉馬努金鼓起了勇氣，寫了第三封信，寄給了英國劍橋大學的數學家哈代。在信中，拉馬努金提到，他在閱讀了哈代的文章之後，發現了哈代在關於素數的個數這個問題上的研究並不全麵。隨後，他便在信中給出了一個關於計算素數個數的公式。除此之外，他還在信中對哈代說，他還發現了其他的一些數學問題，希望哈代能夠過目。並且，他還在信中附上了自己的一些論文，希望哈代能夠幫助他發表。
當哈代收到這封信的時候，他簡直如獲至寶。因為他從這封信中，意識到了寫信的這個人，一定是一個數學水平極高的人，而且他的數學體係是自成一脈的。拉馬努金進入劍橋之後，哈代傻眼了。因為他發現，拉馬努金連一些基礎的數學知識都不是很清楚，但是他卻能夠得出那些公式。拉馬努金把自己夢中的經曆告訴了哈代，這極大地衝擊了哈代的無神論世界觀。哈代看到了拉馬努金的兩大本數學筆記，他深知這些公式是非常偉大的。但是，這些公式中的大多數，他們都無法解釋這些公式的來源。拉馬努金在這兩本筆記中，一共記錄了 3900 多個公式。但是，這些公式都隻有結果，沒有證明的過程。在當時，這些公式中的很多公式，就連哈代也無法解釋。甚至，連拉馬努金自己也無法闡述。因此，拉馬努金也被劍橋的很多傳統的數學家認為是“來自印度的騙子”。
拉馬努金來到劍橋之後，他急於想要將自己的筆記整理出來，然後發表成論文。但是，由於他的這些公式都缺乏證明的過程，所以他的這些論文常常會遭到別人的質疑。哈代為了能夠讓拉馬努金盡快地融入到劍橋的數學圈子裏，他便讓拉馬努金重新學習那些基礎的數學知識。最終，在這五年的時間裏，拉馬努金和哈代兩個人共同發表了 28 篇重要的論文。拉馬努金在解題的時候，靠的都是自己的直覺。哈代認為，拉馬努金一定有著自己獨特的解題思路，以及超越常人的心算能力，隻是他沒有把這些過程寫下來而已。
1914 年，由於第一次世界大戰的爆發，食物變得十分短缺。拉馬努金是一個素食主義者，他長期營養不良。再加上英國潮濕的環境，拉馬努金患上了嚴重的肺結核。但是，憑借著他出色的研究成果，在 1918 年初，拉馬努金成為了第一位來自印度的英國皇家學會會員。同一年，他還成為了劍橋大學三一學院的會員。1919 年，第一次世界大戰結束了。此時的拉馬努金已經重病纏身，他選擇返迴家鄉。1920 年 4 月 26 日，拉馬努金因為病重，在馬德拉斯病逝，年僅 32 歲。
雖然拉馬努金已經離開了這個世界，但是他所留下的那些公式，卻對後世產生了深遠的影響。1973 年，比利時數學家德利尼，因為證明了拉馬努金在 1916 年所提出的一個猜想，從而獲得了菲爾茲獎。直到今天，拉馬努金的很多公式都被應用到了現代的量子物理、統計力學、計算機科學、密碼技術和空間技術等學科當中。他的最後一項成果，模西塔函數，這項成果極大地推動了癌細胞惡化擴散的研究、海嘯運動的研究，並且成為了量子物理學超前理論的一個重要公式之一。要知道，在當時，還沒有人提出黑洞的概念，而拉馬努金的這項公式，卻可以用來解釋黑洞的理論。直到今天，拉馬努金還有很多的公式都沒有被證明。關於天賦，從拉馬努金的情況來看，天賦，是一種直覺，一種無法言說的直覺。
你能想象嗎？世間竟有這樣一位奇人，他憑借夢境創作出近 4000 個公式。在當時，諸多公式連最卓越的數學家都深感費解。直至今日，這些公式仍持續被驗證，在計算機科學、電氣工程、黑洞探索等諸多領域都產生了極為深遠的影響力。而最讓數學家們困惑不已的是，這些公式的創造者自己居然無法對其進行推導。說起來，他仿佛是直接抄錄答案，據他所言，這些公式源自夢境中吉祥天女的賜予。每當他進入夢鄉，一串串神秘莫測的公式便會在他眼前徐徐展開。待他蘇醒，便憑借記憶將這些公式逐一記錄下來。這位堪稱史上最為偉大且獨特的數學天才之一，名叫斯裏尼瓦瑟·拉瑪努金。或許是因泄露了過多的天機，又或許是上天嫉妒他的才華，拉瑪努金在 32 歲的盛年便早早離世，徒留無盡的遺憾與未解之謎。
1887 年 12 月 22 日，拉瑪努金誕生於印度的一個貧寒家庭。他的誕生堪稱奇跡，因為他的母親此前接連生育 4 個孩子，然而其中 3 個都在繈褓之中夭折。自幼，拉瑪努金就對公式展現出了極為濃厚的興趣，他甚至堅信公式擁有自身的生命與獨特個性。這位數學神童的童年時光，大多是在神廟中度過的。據他兒時的一位夥伴迴憶，拉瑪努金常常孤身一人前往神廟，全身心沉浸於解答數學難題的奇妙世界裏。他的朋友曾有一次走進神廟，隻見拉瑪努金端坐其中，四周滿是令人難以理解的數字公式。在拉瑪努金年少之時，他常常會毫無征兆地突然消失，數日後又悄然無聲地返迴家中。他的鄰居們都認為他是一位通靈者，而他自己則暗示，公式能夠將人類與宇宙中的高等力量相互連接。11 歲時，他的數學水平便已超越大學生。13 歲，他自學高級三角學。16 歲那年，他偶然間邂逅了一本名為《純數學和應用數學初步結果摘要》的書籍。此書羅列了 5000 多個數學定理，拉瑪努金不僅將其全部融會貫通，還開始進一步拓展並創造出屬於自己的獨特公式。
然而，天才的成長之路並非一帆風順。拉瑪努金因過度癡迷數學而對其他課程有所忽視，致使他多次痛失獎學金，最終隻能在一家公司屈就低級職員的職位。盡管生活困窘，但他對數學研究的熱忱從未有過絲毫減退，這份執著最終為他迎來了人生的重大轉機。
1913 年，英國數學家戈弗雷·哈代收到了一封信。信的開頭極為平常：“親愛的先生，我是馬德拉斯港口的一名會計，年薪 20 英鎊。”然而信的內容卻徹底顛覆了哈代的認知世界。信中詳盡列出了 120 個數學公式，其中大部分均是超乎哈代想象的天才之作。哈代立刻找來同事利特爾伍德一同深入研究。利特爾伍德驚歎道：“它們徹底將我征服了。我此前從未見過如此神奇的東西，隻需匆匆一瞥，便能察覺這些公式唯有最頂尖的數學家才有能力創作出來，它們必定是真實無誤的，因為倘若它們是虛假的，根本無人能夠擁有如此超凡的想象力去編造。”哈代甚至大膽推測，能夠寫出這些公式的人必定擁有比歐拉或雅可比更為驚世駭俗的天賦。
很快，在哈代的誠摯邀請下，拉瑪努金遠渡重洋奔赴英國劍橋。但這裏的生活對他而言無疑是一場嚴峻的考驗。寒冷的氣候、陌生的文化，還有與他素食習慣相悖的飲食，這一切都對他的健康造成了嚴重的損害。即便如此，拉瑪努金的數學才華依舊璀璨奪目。他提出了一係列震撼整個數學界的公式，其中不乏至今仍被用於探究黑洞性質的公式。要知道，在當時，黑洞這一概念甚至尚未誕生。在此期間，哈代曾試圖讓拉瑪努金對這些公式進行推導，以此驗證其正確性，但拉瑪努金卻始終認為推導毫無意義。在他眼中，這就如同麵對一塊石頭，既然已經知曉它是石頭，又何必耗費時間去證明呢？
31 歲時，拉瑪努金成為英國皇家學會會員，他也是首位獲此殊榮的印度人。拉瑪努金多次提及他的公式是由夢境中的吉祥天女傳授於他，這聽起來似乎荒誕不經，但諸多偉大的發明家和科學家都有過類似的奇妙經曆。例如，門捷列夫在夢中得見元素周期表，並成功預測了尚未被發現的元素；愛因斯坦借助思想實驗提出相對論；喬布斯在冥想中獲取設計 iphone 的靈感。這些靈感究竟是憑空而生，還是另有隱情呢？
上期我們曾提及阿卡西記錄，一種古老的哲學理念認為宇宙中存在著一個儲存所有知識與經驗的數據庫，即阿卡西記錄。在眾多文化中都能找到類似的描述，比如基督的生命之書，記錄著所有人的行為與命運；柏拉圖的理念世界，被視作一切真實存在的根源。因此，許多人不禁猜測，這是否意味著像拉瑪努金、門捷列夫、愛因斯坦這般的天才，實際上是在訪問阿卡西記錄呢？
拉瑪努金一生留下了近 4000 個數學公式，並且不斷被科學家們證實其正確性。這些公式構成了超弦理論和多維物理學的重要基石。如今所有頂尖科學家都在運用的模函數，實際上便是拉瑪努金的卓越貢獻。可以大膽預見，那些尚未被驗證的公式必定隱藏著某些關乎宇宙的重大真理。科學家們推測，未來拉瑪努金的公式極有可能在時間旅行、反重力、無限能量等前沿領域發揮不可或缺的關鍵作用。
1919 年，堅守素食主義的拉瑪努金返迴印度，滿心期望借助故土的環境調養身體、恢複健康，然而事與願違。這位天才於 1920 年 4 月 26 日英年早逝，享年 32 歲。在其短暫的一生中，拉瑪努金時常深入思索數學的深刻意義。他曾言：“對我而言，一個方程式若未能表達神的思想，便沒任何意義。”
他【證明】了神的存在，來自未來的天才，卻泄露了造物主的秘密。
倘若宇宙的一切皆可由數學闡釋，那便意味著這個宇宙或許是被精心設計而成的，而他，拉瑪努金，竟用數字證實了神的存在。他堪稱有史以來最為偉大的數學家之一，在人類數學史上，無人能與其相媲美。自遠古至今，所有數學家所發現的公式總和，都不及他一人所創之多。拉瑪努金，這位未接受正規教育卻極具傳奇色彩的數學家，是整個數學史上最為獨特的存在。他全然憑借直覺徑直給出公式與定理，在其短暫的一生之中，留下了將近 4000 個公式以及命題。然而，令人詫異的是，他卻不知如何證明這些公式，隻因他宣稱這些公式皆是在睡夢中由神所賜予的靈感。直至百年之後，他所遺留的公式才不斷被證實為正確無誤，其涉及的領域極為廣泛，涵蓋矩陣論、數論、超弦理論等等。這些公式在計算機工程、量子領域等依舊發揮著極為巨大的作用。毫無推導過程，直接給出公式，這實在是超乎尋常，仿若電視劇中的穿越者背誦唐詩宋詞一般令人難以置信。
拉瑪努金在其生命的最後一年所寫出的最後一個公式，直至近期才被成功破解，而令人震驚的是，破解後的公式竟與黑洞行為密切相關，要知道在 100 年前，人們甚至連黑洞這一概念都尚未知曉。將他的智慧發掘並呈現在世人麵前的，正是那位大名鼎鼎的英國大數學家、劍橋大學教授哈代。或許你對哈代並不熟悉，但華羅庚的名字你定然有所耳聞。哈代正是華羅庚的導師。華羅庚歸國之後，培育出了整整一代新中國的數學家，為中國數學事業的發展做出了極為重大且直接的貢獻。從這一意義來講，中國數學界無論怎樣感激哈代都不為過。
1913 年，哈代收到了一封來自印度的信件。身為著名數學家，哈代時常會收到此類毛遂自薦的信件，其中不乏一些狂熱分子提出的荒謬論斷。然而，拉瑪努金的來信卻令他大為驚愕。當哈代開始仔細研讀時，他迅速察覺到這封信的獨特之處。這封長達 11 頁的信件，除了拉瑪努金的自我介紹之外，真正吸引哈代目光的是那滿滿當當的 120 條數學公式。這些不知由何推導而出的公式，連哈代都難以理解，但他堅信這些公式是正確的，因為唯有一流的數學家方能寫出如此精妙的式子。哈代深知自己見證了一位天才的誕生，於是立即邀請拉瑪努金前往劍橋從事數學研究。
可這卻讓拉瑪努金陷入了兩難的困境。作為正統婆羅門的拉瑪努金，一旦前往國外，便會喪失其尊貴的身份，為此，他的家人極力反對他出國。直至某夜，印度教中掌管財富與運氣的吉祥天女在夢中向拉瑪努金的母親傳達旨意，要求她莫要阻攔兒子的行程，拉瑪努金這才得以如願，真正有機會接受正統的數學教育。
抵達英國之後，拉瑪努金不得不為自己提出的公式進行推導證明，這令他倍感苦惱與困惑。恰似有人將一個蘋果置於你麵前，卻要求你證明這是蘋果，這難道不是顯而易見之事？直接得出結論即可。想象一下，一位能夠解答高等數學難題的大學生，卻連簡單的一元一次方程都無法求解。也難怪哈代評價他就如同一塊未經雕琢的璞玉。以至於後來數學界一直扼腕歎息，倘若拉瑪努金能更早開啟學習之旅，必將給整個世界帶來天翻地覆的變革。
盡管拉瑪努金欠缺一些最為基礎的訓練，哈代也隻能從最根本的知識著手教導。在劍橋將近 5 年的時光裏，他與哈代攜手共創了無數珍貴的數學瑰寶。這段時期堪稱拉瑪努金人生的黃金歲月，哈代亦將其稱作自己一生中最為浪漫的經曆。每當哈代詢問拉瑪努金是如何得出那些奇異卻又合理的數學公式時，拉瑪努金總是迴應稱，他在夢中受到印度女神吉祥天女的啟迪，清晨醒來便能憑借直覺寫下這些數學公式與猜想。起初，哈代認為拉瑪努金是在胡言亂語，然而，當拉瑪努金一次次僅僅通過睡眠，次日便能告知他一些極為棘手的公式時，就連身為無神論者的哈代都不禁開始懷疑神的存在。拉瑪努金表示，在做夢之時，他的思路會變得異常清晰，能夠接收海量的信息。在夢中，他隱約瞧見一麵巨大的紅牆，牆上有一隻手浮現，寫下了一個又一個公式。他牢牢記住這些公式，待醒來後便即刻用筆記本記錄下來。而且拉瑪努金篤定神是真實存在的。他曾言，一個方程式若無意義，除非它代表了神的思想。這也使得拉瑪努金的數學發現愈發神秘莫測。
他與哈代共同攻克了困擾數學界數百年的整數分拆問題，也正因如此，年僅 30 歲的拉瑪努金成為英國皇家學會有史以來最為年輕的會員之一。曾有人詢問哈代在數學領域最為突出的貢獻是什麽，哈代的迴答是：“我發現了拉瑪努金。”
然而，天妒英才似乎是一條無法打破的定律。依照婆羅門的傳統，長期吃素且頻繁投身解題的拉瑪努金不幸染上肺結核，在劍橋的最後一年，他幾乎都在療養院裏度過。在此期間，還有一段小插曲。一日，哈代乘坐出租車前往療養院探望拉瑪努金，他對拉瑪努金說道：“我是搭乘出租車來的，車牌號是 1729，這數字實在無趣，但願不是不祥之兆。”拉瑪努金思索片刻後，立即迴應道：“不，這個數字妙趣橫生，它可以用兩種立方數之和來表示，而且在所有具備兩種表達方式的數字之中，1729 是最小的。”後來這類數字便被稱為“出租車數”。截至當下，僅僅發現了 6 組“出租車數”，其餘 4 組皆是借助超級計算機才得以發現。
由於當時英國正值第一次世界大戰，蔬菜短缺致使拉瑪努金嚴重營養不良，再加上戰爭期間他思鄉心切，拉瑪努金於 1919 年決定返迴印度。而迴到印度後短短不到一年，拉瑪努金便因病離世，享年 33 歲。哈代聽聞這一噩耗，悲痛欲絕，以至於後世有人傳言，神發覺拉瑪努金在泄露宇宙的秘密，於是過早地將他召迴。
在生命的最後一年，吉祥天女在夢中給予拉瑪努金最後一個靈感——模西塔函數。當這個公式初次現世時，無人能夠理解，即便是當時最為頂尖的數學家也不例外。直至 2012 年，數學家們才驚覺這個公式可用於描述黑洞行為。要知道，當拉瑪努金首次提出這一公式時，人們對黑洞還一無所知，人類甚至無法想象出未曾見過的事物。即便以現今的科技水平，對於黑洞的認知也不過是皮毛而已。拉瑪努金的這個公式仿佛是直接從上帝的知識寶庫中捧出真理，呈現在世人麵前。
有趣的是，當年劍橋大學曾盛行一種特殊的“證明”方式，即“拉瑪努金覺得是對的”。比如有人提出一個猜想，證明完畢後竟會寫上“拉瑪努金覺得是對的”。當年劍橋高層費盡周折，才遏製住這股不良風氣。
拉瑪努金過世後，哈代親自設計出一種評估個人數學天分的評分表，他自己僅得了 25 分，同時代最為偉大的德國數學家希爾伯特得了 80 分，而拉瑪努金則榮獲 100 分。希爾伯特便是那位曾宣稱愛因斯坦數學欠佳的人，愛因斯坦在這個榜單中的排名恐怕極為靠後。
倘若真如拉瑪努金所言，他所有的數學公式皆是在夢中由吉祥天女啟迪所得，那麽不妨大膽推測，那尚未被證明的三分之二的公式亦應是正確無誤的，並且必定蘊含著巨大的奧秘。近百年來，盡管我們目睹科技日新月異，見證一個個強大的科技產品不斷湧現，然而在科學家們心中卻深知，人類的基礎科學實則已陷入嚴重的停滯狀態，重要的物理定律已長達 100 年未曾更新。若沒有新型數學工具的誕生，人類麵對暗物質、暗能量之謎、黑洞內部構造、多維宇宙等諸多難題，或許將永遠無法取得突破，而解開這些謎題的關鍵，極有可能就隱匿於拉瑪努金的那些公式之中。有人推測，在未來，拉瑪努金的公式或許與時間旅行、反重力以及無限能源有著極為緊密的關聯。他給予了人類一座數學金礦，而目前這座金礦僅僅被開采了十分之一。現今有一批專門的數學家以研究拉瑪努金遺留的公式為生，他們的研究領域高度聚焦於拉瑪努金的手稿。例如比利時數學家德利涅於 1973 年證明了拉瑪努金 1916 年提出的一個猜想，並因此榮獲 1978 年的菲爾茲獎，這可是世界上最為崇高的數學獎項之一。
或許拉瑪努金真的是神派遣至人間傳播智慧的使者，然而愚昧的人類卻執著於要求證明與解釋過程。他的出現似乎暗示著一種可能，仿佛許多知識是徑直飛進他的腦海之中，而這媒介究竟是神，還是宇宙中存在著一個神秘的知識庫，令拉瑪努金能夠直接從中下載知識？牛頓耗費了一生中的後 40 年鑽研神學、研究煉金術，試圖證明上帝的存在。若再告知你，在迄今最為卓越的科學家中，有 80%以上都具有宗教信仰，都信奉神，不知你是否會感到震驚？在當代人類中最為偉大、最具權威的 20 位物理學家中，唯一在世的物理學家楊振寧先生，在一次采訪中被問及世界上是否真的存在造物主時，楊振寧先生迴答道：“我想是有的，因為整個世界的結構並非偶然。”特斯拉曾說過：“如果有一天科學家們開始研究非物理現象，那麽在未來 10 年中所獲得的成就將超越過去的所有。”這不禁令人心生疑慮，難道現今人類的發展方向是錯誤的嗎？
拉瑪努金，天生的遞歸思維
在我們所處的世界中，存在著兩種循環模式，一為迭代，一為遞歸。人類在很早之前便掌握了迭代式循環。就拿我們日常使用的十進製來說，它便是以 10 作為周期展開迭代的。再看那 12 個刻度，竟能精準地模擬無數次日出日落，且毫無差錯，仿佛天衣無縫。從宏觀層麵來看，我們的世界似乎正是以迭代的方式有條不紊地運行著。
然而，自第一顆原子彈爆炸的那一刻起，人類的目光被另一種循環方式——遞歸所吸引。遞歸循環引發了核鏈式反應，瞬間爆發出驚世駭俗的巨大能量。當時，科學家們甚至一度擔憂核鏈式反應的遞歸進程會永不停歇，進而致使整個地球演變成一顆超級巨型原子彈。萬幸的是，這種可怕的情形最終並未成為現實，我們依舊安然無恙地存活於世，繼續著平凡的生活，每日為生計奔波忙碌。由此可見，遞歸是一種極為強大且獨特的循環方式。計算機科學領域的大神彼得·多伊奇曾言：迭代乃是人類的思維模式，而遞歸，則是神的思維模式。他為何會有如此論斷呢？原因在於遞歸跳出了人類習以為常的思維框架，對人類的智商發起了嚴峻的挑戰。
讓我們以斐波那契數列為例加以闡釋。倘若要用一個表達式來描述它，便是這般模樣。或許有朋友會覺得這看起來似乎並不複雜。可要是依據式子的定義進一步拆解剖析，便會發覺事情遠非想象中那般簡單。在這個式子裏，f 加括號會持續地調用自身，最終趨向於一個無窮無盡的過程。
再來看另一個類似的遞歸過程，其式子呈現出這樣的形態。這個式子出現在一封信函之中，而寫信之人是印度的一位年輕小夥，收信者則是當時英國數學界的權威哈代。哈代乍一看到這個式子，頓感自己的思維陷入了混沌，仿佛大腦中的“cpu”被瞬間燒壞。這究竟是怎樣一個奇特的式子？它看上去簡直超乎尋常，令人匪夷所思。可當試著代入幾個數字進行驗證時，卻又發現它似乎是正確無誤的。哈代心想，這般奇妙的式子絕不能獨自承受其帶來的困惑與震撼。於是，他拿著這個式子找到了自己的同事，另一位英國數學家利特伍德，詢問其看法。利特伍德看後不禁讚歎道：“我從未見過如此美妙絕倫的式子，能夠寫下這個式子的必定是一位天才。”
哈代隨後給式子的作者迴了一封信，信中寫道：“你的式子精妙絕倫，然而你該如何證明它呢？”不久之後，哈代便收到了迴信。這封信與上一封如出一轍，同樣寫滿了眾多稀奇古怪的公式，並且還附帶了一句令人驚愕的疑問：“什麽叫證明？”哈代瞬間感覺自己的“cpu”再次遭受了沉重的打擊。“什麽叫什麽叫證明？”他滿心疑惑，於是決定深入了解這位印度年輕人。一番探尋後，他驚異地發現，這家夥竟真的對“證明”的概念一無所知。原來，他的數學知識幾乎全靠自學，更為離譜的是，他甚至連一本像樣的數學教科書都沒有，唯一的一本高等三角學還是從他人那裏借來的。也就是說，他獨自一人在數學的海洋中摸索前行，肆意推導，最終得出了上千個奇異獨特的數學公式，而且其中絕大多數都是遞歸形式的。這無疑是一位天生就對遞歸思維有著極高天賦的人，不，與其說是人，倒不如說是神。這位年輕人便是拉馬努金。
拉馬努金生活在印度南部的赤貧地區，其貧困程度超乎想象，用“窮到全家共穿一條褲子”來形容他絲毫不為過。好在當時他為一家本地商人記賬，而這位商人出於善意，將他的公式寄給了英國的幾所大學。幸運的是，哈代正是其中一位收件人。至於其他幾位收件人，一看到這些奇怪的公式，又不見證明過程，便毫不猶豫地將其丟進了垃圾桶。哈代則費盡心思將拉馬努金帶到了劍橋大學。這對於拉馬努金而言，既是幸運的開端，卻也可能是不幸的起始。
拉馬努金極不適應英國的生活。有一次，一位同學前往他的宿舍探望，關切地詢問他生活是否有困難。拉馬努金迴答道：“別的倒還好，隻是晚上太冷了。”同學聽後倍感詫異，便問他是如何睡覺的。拉馬努金隨即演示了一番，這一下可把同學驚得目瞪口呆。原來，拉馬努金竟然睡在被子的上麵，沒錯，他把被子當作床墊鋪在了身體下方。同學見狀，既覺好笑又感無奈，隨後親自示範道：“親愛的，你先掀開被子，然後鑽進去，再把被子蓋上。對，就是這樣，這樣就暖和多了。”拉馬努金見狀，頓時喜出望外，連聲道謝：“哎呀，原來還有如此奇妙的方法。”
數年之後，拉馬努金功成名就，榮歸故裏，在印度受到了英雄般的熱烈歡迎。然而，令人費解的是，他迴到印度不久後便與世長辭，這成為了一個曆史未解之謎。或許有人會猜測，他是因為飲用了恆河水而導致不幸離世。
今日我們有幸領略了拉馬努金的遞歸式思維，不得不承認，天生具備這種遞歸思維的人著實令人驚歎不已。
他因為泄漏宇宙秘密，被神封號# 數學未解之謎
世界上或許唯有他能夠以獨特的方式探索圓周率的奧秘。從割圓法到無窮級數，人類耗費了長達 1900 年的漫長時光，才將圓周率精確到 100 位小數。然而，這位印度天才拉瑪努金隨手寫下的一個簡潔公式，卻使圓周率的計算邁向了一個人類難以企及的全新高度。當取 k = 0 時，圓周率便能達到特定的精度；而隨著 k 每增加 1，有效數字竟能提升 8 倍之多。如今計算機能夠計算出圓周率到 62.8 萬億位，很大程度上依賴於這個公式的變體。更為神奇的是，那個被公認為世界上收斂速度最快的圓周率公式，拉瑪努金宣稱是印度女神在夢中賜予他的靈感。每當他進入冥想狀態，一個個超乎常人想象、如同天書般的數學公式和定理便會自然而然地浮現於腦海之中。
1913 年，英國頂尖數學家哈代收到了一份來自印度的神秘手稿，上麵密密麻麻地寫滿了令人費解的玄學公式。盡管哈代起初無法理解其中深意，但內心卻深受震撼，他堅信這必定出自一位與牛頓齊名的天才之手。於是，在哈代的賞識與舉薦下，出身貧寒且早早輟學、純粹依靠自學鑽研數學的拉瑪努金，有幸踏入劍橋三一學院深造，與華羅庚成為同門師兄弟。
拉瑪努金擅長以一種仿若上帝俯瞰眾生般的視角來剖析數學。他秉持著宇宙萬物皆可由數學闡釋的理念，例如他曾巧妙地將圓周率、自然對數、黃金分割整合於一個公式之中，其精妙絕倫之處令常人驚歎不已，而這個公式如今在超弦定理中得以應用，用於證明十一維時空的存在。更令人毛骨悚然的是，他臨終前所留下的公式，在 2012 年竟被發現精準地描述了黑洞的行為模式與奇點特征，而彼時的人類對黑洞的認知還極為有限。直至今日，仍有一批數學家以研究拉瑪努金遺留的 3900 多個尚未被證明的公式作為畢生的追求與事業。倘若他能享年 99 歲，當今世界的科技究竟會發展至何種令人難以想象的境界，實在是令人不敢妄加揣測。
拉馬努金:把蘋果放在大家麵前，難道還需要證明那是蘋果嗎？
唯一一個把卷積網絡(gpu)，當邏輯網絡(cpu)來用的人。
作者認為，在認知體係中，當某專業信息的整體邏輯抽象維度運作達到3^3維及以上時，我們或許能夠訪問宇宙總信息庫中的專業知識，或者說，能夠按需生成真理級別的知識。也就是說，神經網絡的隱藏層是有限的，但隻要我們不斷進行運算（迭代），就有可能觸達真理，甚至實現觸類旁通。換句話說，在信息熵的概念中，存在熵增的最大值和熵減的最小值，這意味著矩陣信息流中的信息具有一個最高的容量上限或有限位數限製。
一種比較讓人信服的解釋，就是就是你的顯意識不斷運算一種東西，比如遞歸思維。你的潛意識就會認為這件很重要，甚至關乎生存時，才會把遞歸思維自動程序化，就是一種極限逼近向內循環，潛意識就會日夜不停的尋找各種公式，然後以夢的形式，通知你計算結果。由於你對公式的極度熱愛與敏感，本來夢醒很快被遺忘的夢中複雜公式，被你一字不差的記了下來。這是為什麽能每天穩定夢得到6個公式的原因。6個也是此遞歸思維自動程序的日常計算量。
什麽是天賦？是從小就聰明伶俐，對所有事物都一點就通？還是對某一領域擁有濃厚的興趣，從而積累了大量的知識？又或者是遺傳了父母優秀的基因，天生就具備某種特殊的能力？今天，我們要講的這個人，將會詮釋天賦這個詞的含義。他就是被後世譽為最偉大的數學家之一的斯裏尼瓦瑟·拉馬努金。他的天賦，是一種莫名其妙的直覺。
1887 年 12 月 22 日，拉馬努金出生於印度東南部的埃羅德。雖然他出生於婆羅門種姓，但家境已經中落。他的父親是當地一家零售布點的會計，母親沒有固定的職業，全家僅靠父親微薄的收入，勉強維持著貧困的生活。
七歲的時候，拉馬努金被送到了貢伯戈納姆的一所中學讀書。在他十歲那年，他第一次接觸到了數學這門學科。當他第一次看到數學課本的時候，他就像是遇見了一位認識了很久的老朋友。從此，他便一頭紮進了數字的海洋裏。他憑借著自己的直覺，接觸到了許多高等數學的知識。要知道，在當時，他並沒有接受過正統的高等數學教育。他的身邊人甚至認為，他並不是在學習數學，而是在創造數學。拉馬努金在自己的個人自傳中解釋道，他常常會在夢中得到印度女神娜瑪卡爾的啟示，當他早上醒來的時候，他便會憑借著自己的直覺，寫下那些數學公式和命題。
雖然離開了學校，但拉馬努金卻從來沒有放棄過自己的數學夢想。他常常會一個人坐在角落裏，用自己的方法去解讀那些數字的奧秘。他的這種狀態，讓他的父母一度以為他是走火入魔了。1909 年，拉馬努金的父母為他安排了一場婚禮。結婚之後，拉馬努金開始承擔起了養家糊口的責任。但同時，他也更加渴望能夠將自己熱愛的數學變成自己的工作。他不斷地發表自己的論文，整理自己的筆記，希望能夠讓別人理解自己的數學理念。然而，他的這些數學研究，在當時的印度來說，實在是太超前了。
拉馬努金在解題的時候，總是能夠憑借著自己的直覺，給出難題的結果。但是，當別人問他是如何得出這個結果的時候，他卻總是講不清楚。因為他的解題思路和正常的數學家不太一樣。正常的數學家在麵對一道難題的時候，往往是先看問題，然後再寫出證明的過程，最後得出結果。但是拉馬努金卻是先給出結果，然後再去想辦法證明。當別人問他是如何得出這個結果的時候，他也隻能解釋說是自己的直覺。
拉馬努金的朋友艾亞爾，他是印度數學學會的創始人之一。艾亞爾主張讓拉馬努金把自己的研究成果寄給英國的數學界。拉馬努金一共寫了三封信寄往英國。但是前兩封信都石沉大海，沒有得到任何迴應。直到 1913 年 2 月 16 日，拉馬努金鼓起了勇氣，寫了第三封信，寄給了英國劍橋大學的數學家哈代。在信中，拉馬努金提到，他在閱讀了哈代的文章之後，發現了哈代在關於素數的個數這個問題上的研究並不全麵。隨後，他便在信中給出了一個關於計算素數個數的公式。除此之外，他還在信中對哈代說，他還發現了其他的一些數學問題，希望哈代能夠過目。並且，他還在信中附上了自己的一些論文，希望哈代能夠幫助他發表。
當哈代收到這封信的時候，他簡直如獲至寶。因為他從這封信中，意識到了寫信的這個人，一定是一個數學水平極高的人，而且他的數學體係是自成一脈的。拉馬努金進入劍橋之後，哈代傻眼了。因為他發現，拉馬努金連一些基礎的數學知識都不是很清楚，但是他卻能夠得出那些公式。拉馬努金把自己夢中的經曆告訴了哈代，這極大地衝擊了哈代的無神論世界觀。哈代看到了拉馬努金的兩大本數學筆記，他深知這些公式是非常偉大的。但是，這些公式中的大多數，他們都無法解釋這些公式的來源。拉馬努金在這兩本筆記中，一共記錄了 3900 多個公式。但是，這些公式都隻有結果，沒有證明的過程。在當時，這些公式中的很多公式，就連哈代也無法解釋。甚至，連拉馬努金自己也無法闡述。因此，拉馬努金也被劍橋的很多傳統的數學家認為是“來自印度的騙子”。
拉馬努金來到劍橋之後，他急於想要將自己的筆記整理出來，然後發表成論文。但是，由於他的這些公式都缺乏證明的過程，所以他的這些論文常常會遭到別人的質疑。哈代為了能夠讓拉馬努金盡快地融入到劍橋的數學圈子裏，他便讓拉馬努金重新學習那些基礎的數學知識。最終，在這五年的時間裏，拉馬努金和哈代兩個人共同發表了 28 篇重要的論文。拉馬努金在解題的時候，靠的都是自己的直覺。哈代認為，拉馬努金一定有著自己獨特的解題思路，以及超越常人的心算能力，隻是他沒有把這些過程寫下來而已。
1914 年，由於第一次世界大戰的爆發，食物變得十分短缺。拉馬努金是一個素食主義者，他長期營養不良。再加上英國潮濕的環境，拉馬努金患上了嚴重的肺結核。但是，憑借著他出色的研究成果，在 1918 年初，拉馬努金成為了第一位來自印度的英國皇家學會會員。同一年，他還成為了劍橋大學三一學院的會員。1919 年，第一次世界大戰結束了。此時的拉馬努金已經重病纏身，他選擇返迴家鄉。1920 年 4 月 26 日，拉馬努金因為病重，在馬德拉斯病逝，年僅 32 歲。
雖然拉馬努金已經離開了這個世界，但是他所留下的那些公式，卻對後世產生了深遠的影響。1973 年，比利時數學家德利尼，因為證明了拉馬努金在 1916 年所提出的一個猜想，從而獲得了菲爾茲獎。直到今天，拉馬努金的很多公式都被應用到了現代的量子物理、統計力學、計算機科學、密碼技術和空間技術等學科當中。他的最後一項成果，模西塔函數，這項成果極大地推動了癌細胞惡化擴散的研究、海嘯運動的研究，並且成為了量子物理學超前理論的一個重要公式之一。要知道，在當時，還沒有人提出黑洞的概念，而拉馬努金的這項公式，卻可以用來解釋黑洞的理論。直到今天，拉馬努金還有很多的公式都沒有被證明。關於天賦，從拉馬努金的情況來看，天賦，是一種直覺，一種無法言說的直覺。
你能想象嗎？世間竟有這樣一位奇人，他憑借夢境創作出近 4000 個公式。在當時，諸多公式連最卓越的數學家都深感費解。直至今日，這些公式仍持續被驗證，在計算機科學、電氣工程、黑洞探索等諸多領域都產生了極為深遠的影響力。而最讓數學家們困惑不已的是，這些公式的創造者自己居然無法對其進行推導。說起來，他仿佛是直接抄錄答案，據他所言，這些公式源自夢境中吉祥天女的賜予。每當他進入夢鄉，一串串神秘莫測的公式便會在他眼前徐徐展開。待他蘇醒，便憑借記憶將這些公式逐一記錄下來。這位堪稱史上最為偉大且獨特的數學天才之一，名叫斯裏尼瓦瑟·拉瑪努金。或許是因泄露了過多的天機，又或許是上天嫉妒他的才華，拉瑪努金在 32 歲的盛年便早早離世，徒留無盡的遺憾與未解之謎。
1887 年 12 月 22 日，拉瑪努金誕生於印度的一個貧寒家庭。他的誕生堪稱奇跡，因為他的母親此前接連生育 4 個孩子，然而其中 3 個都在繈褓之中夭折。自幼，拉瑪努金就對公式展現出了極為濃厚的興趣，他甚至堅信公式擁有自身的生命與獨特個性。這位數學神童的童年時光，大多是在神廟中度過的。據他兒時的一位夥伴迴憶，拉瑪努金常常孤身一人前往神廟，全身心沉浸於解答數學難題的奇妙世界裏。他的朋友曾有一次走進神廟，隻見拉瑪努金端坐其中，四周滿是令人難以理解的數字公式。在拉瑪努金年少之時，他常常會毫無征兆地突然消失，數日後又悄然無聲地返迴家中。他的鄰居們都認為他是一位通靈者，而他自己則暗示，公式能夠將人類與宇宙中的高等力量相互連接。11 歲時，他的數學水平便已超越大學生。13 歲，他自學高級三角學。16 歲那年，他偶然間邂逅了一本名為《純數學和應用數學初步結果摘要》的書籍。此書羅列了 5000 多個數學定理，拉瑪努金不僅將其全部融會貫通，還開始進一步拓展並創造出屬於自己的獨特公式。
然而，天才的成長之路並非一帆風順。拉瑪努金因過度癡迷數學而對其他課程有所忽視，致使他多次痛失獎學金，最終隻能在一家公司屈就低級職員的職位。盡管生活困窘，但他對數學研究的熱忱從未有過絲毫減退，這份執著最終為他迎來了人生的重大轉機。
1913 年，英國數學家戈弗雷·哈代收到了一封信。信的開頭極為平常：“親愛的先生，我是馬德拉斯港口的一名會計，年薪 20 英鎊。”然而信的內容卻徹底顛覆了哈代的認知世界。信中詳盡列出了 120 個數學公式，其中大部分均是超乎哈代想象的天才之作。哈代立刻找來同事利特爾伍德一同深入研究。利特爾伍德驚歎道：“它們徹底將我征服了。我此前從未見過如此神奇的東西，隻需匆匆一瞥，便能察覺這些公式唯有最頂尖的數學家才有能力創作出來，它們必定是真實無誤的，因為倘若它們是虛假的，根本無人能夠擁有如此超凡的想象力去編造。”哈代甚至大膽推測，能夠寫出這些公式的人必定擁有比歐拉或雅可比更為驚世駭俗的天賦。
很快，在哈代的誠摯邀請下，拉瑪努金遠渡重洋奔赴英國劍橋。但這裏的生活對他而言無疑是一場嚴峻的考驗。寒冷的氣候、陌生的文化，還有與他素食習慣相悖的飲食，這一切都對他的健康造成了嚴重的損害。即便如此，拉瑪努金的數學才華依舊璀璨奪目。他提出了一係列震撼整個數學界的公式，其中不乏至今仍被用於探究黑洞性質的公式。要知道，在當時，黑洞這一概念甚至尚未誕生。在此期間，哈代曾試圖讓拉瑪努金對這些公式進行推導，以此驗證其正確性，但拉瑪努金卻始終認為推導毫無意義。在他眼中，這就如同麵對一塊石頭，既然已經知曉它是石頭，又何必耗費時間去證明呢？
31 歲時，拉瑪努金成為英國皇家學會會員，他也是首位獲此殊榮的印度人。拉瑪努金多次提及他的公式是由夢境中的吉祥天女傳授於他，這聽起來似乎荒誕不經，但諸多偉大的發明家和科學家都有過類似的奇妙經曆。例如，門捷列夫在夢中得見元素周期表，並成功預測了尚未被發現的元素；愛因斯坦借助思想實驗提出相對論；喬布斯在冥想中獲取設計 iphone 的靈感。這些靈感究竟是憑空而生，還是另有隱情呢？
上期我們曾提及阿卡西記錄，一種古老的哲學理念認為宇宙中存在著一個儲存所有知識與經驗的數據庫，即阿卡西記錄。在眾多文化中都能找到類似的描述，比如基督的生命之書，記錄著所有人的行為與命運；柏拉圖的理念世界，被視作一切真實存在的根源。因此，許多人不禁猜測，這是否意味著像拉瑪努金、門捷列夫、愛因斯坦這般的天才，實際上是在訪問阿卡西記錄呢？
拉瑪努金一生留下了近 4000 個數學公式，並且不斷被科學家們證實其正確性。這些公式構成了超弦理論和多維物理學的重要基石。如今所有頂尖科學家都在運用的模函數，實際上便是拉瑪努金的卓越貢獻。可以大膽預見，那些尚未被驗證的公式必定隱藏著某些關乎宇宙的重大真理。科學家們推測，未來拉瑪努金的公式極有可能在時間旅行、反重力、無限能量等前沿領域發揮不可或缺的關鍵作用。
1919 年，堅守素食主義的拉瑪努金返迴印度，滿心期望借助故土的環境調養身體、恢複健康，然而事與願違。這位天才於 1920 年 4 月 26 日英年早逝，享年 32 歲。在其短暫的一生中，拉瑪努金時常深入思索數學的深刻意義。他曾言：“對我而言，一個方程式若未能表達神的思想，便沒任何意義。”
他【證明】了神的存在，來自未來的天才，卻泄露了造物主的秘密。
倘若宇宙的一切皆可由數學闡釋，那便意味著這個宇宙或許是被精心設計而成的，而他，拉瑪努金，竟用數字證實了神的存在。他堪稱有史以來最為偉大的數學家之一，在人類數學史上，無人能與其相媲美。自遠古至今，所有數學家所發現的公式總和，都不及他一人所創之多。拉瑪努金，這位未接受正規教育卻極具傳奇色彩的數學家，是整個數學史上最為獨特的存在。他全然憑借直覺徑直給出公式與定理，在其短暫的一生之中，留下了將近 4000 個公式以及命題。然而，令人詫異的是，他卻不知如何證明這些公式，隻因他宣稱這些公式皆是在睡夢中由神所賜予的靈感。直至百年之後，他所遺留的公式才不斷被證實為正確無誤，其涉及的領域極為廣泛，涵蓋矩陣論、數論、超弦理論等等。這些公式在計算機工程、量子領域等依舊發揮著極為巨大的作用。毫無推導過程，直接給出公式，這實在是超乎尋常，仿若電視劇中的穿越者背誦唐詩宋詞一般令人難以置信。
拉瑪努金在其生命的最後一年所寫出的最後一個公式，直至近期才被成功破解，而令人震驚的是，破解後的公式竟與黑洞行為密切相關，要知道在 100 年前，人們甚至連黑洞這一概念都尚未知曉。將他的智慧發掘並呈現在世人麵前的，正是那位大名鼎鼎的英國大數學家、劍橋大學教授哈代。或許你對哈代並不熟悉，但華羅庚的名字你定然有所耳聞。哈代正是華羅庚的導師。華羅庚歸國之後，培育出了整整一代新中國的數學家，為中國數學事業的發展做出了極為重大且直接的貢獻。從這一意義來講，中國數學界無論怎樣感激哈代都不為過。
1913 年，哈代收到了一封來自印度的信件。身為著名數學家，哈代時常會收到此類毛遂自薦的信件，其中不乏一些狂熱分子提出的荒謬論斷。然而，拉瑪努金的來信卻令他大為驚愕。當哈代開始仔細研讀時，他迅速察覺到這封信的獨特之處。這封長達 11 頁的信件，除了拉瑪努金的自我介紹之外，真正吸引哈代目光的是那滿滿當當的 120 條數學公式。這些不知由何推導而出的公式，連哈代都難以理解，但他堅信這些公式是正確的，因為唯有一流的數學家方能寫出如此精妙的式子。哈代深知自己見證了一位天才的誕生，於是立即邀請拉瑪努金前往劍橋從事數學研究。
可這卻讓拉瑪努金陷入了兩難的困境。作為正統婆羅門的拉瑪努金，一旦前往國外，便會喪失其尊貴的身份，為此，他的家人極力反對他出國。直至某夜，印度教中掌管財富與運氣的吉祥天女在夢中向拉瑪努金的母親傳達旨意，要求她莫要阻攔兒子的行程，拉瑪努金這才得以如願，真正有機會接受正統的數學教育。
抵達英國之後，拉瑪努金不得不為自己提出的公式進行推導證明，這令他倍感苦惱與困惑。恰似有人將一個蘋果置於你麵前，卻要求你證明這是蘋果，這難道不是顯而易見之事？直接得出結論即可。想象一下，一位能夠解答高等數學難題的大學生，卻連簡單的一元一次方程都無法求解。也難怪哈代評價他就如同一塊未經雕琢的璞玉。以至於後來數學界一直扼腕歎息，倘若拉瑪努金能更早開啟學習之旅，必將給整個世界帶來天翻地覆的變革。
盡管拉瑪努金欠缺一些最為基礎的訓練，哈代也隻能從最根本的知識著手教導。在劍橋將近 5 年的時光裏，他與哈代攜手共創了無數珍貴的數學瑰寶。這段時期堪稱拉瑪努金人生的黃金歲月，哈代亦將其稱作自己一生中最為浪漫的經曆。每當哈代詢問拉瑪努金是如何得出那些奇異卻又合理的數學公式時，拉瑪努金總是迴應稱，他在夢中受到印度女神吉祥天女的啟迪，清晨醒來便能憑借直覺寫下這些數學公式與猜想。起初，哈代認為拉瑪努金是在胡言亂語，然而，當拉瑪努金一次次僅僅通過睡眠，次日便能告知他一些極為棘手的公式時，就連身為無神論者的哈代都不禁開始懷疑神的存在。拉瑪努金表示，在做夢之時，他的思路會變得異常清晰，能夠接收海量的信息。在夢中，他隱約瞧見一麵巨大的紅牆，牆上有一隻手浮現，寫下了一個又一個公式。他牢牢記住這些公式，待醒來後便即刻用筆記本記錄下來。而且拉瑪努金篤定神是真實存在的。他曾言，一個方程式若無意義，除非它代表了神的思想。這也使得拉瑪努金的數學發現愈發神秘莫測。
他與哈代共同攻克了困擾數學界數百年的整數分拆問題，也正因如此，年僅 30 歲的拉瑪努金成為英國皇家學會有史以來最為年輕的會員之一。曾有人詢問哈代在數學領域最為突出的貢獻是什麽，哈代的迴答是：“我發現了拉瑪努金。”
然而，天妒英才似乎是一條無法打破的定律。依照婆羅門的傳統，長期吃素且頻繁投身解題的拉瑪努金不幸染上肺結核，在劍橋的最後一年，他幾乎都在療養院裏度過。在此期間，還有一段小插曲。一日，哈代乘坐出租車前往療養院探望拉瑪努金，他對拉瑪努金說道：“我是搭乘出租車來的，車牌號是 1729，這數字實在無趣，但願不是不祥之兆。”拉瑪努金思索片刻後，立即迴應道：“不，這個數字妙趣橫生，它可以用兩種立方數之和來表示，而且在所有具備兩種表達方式的數字之中，1729 是最小的。”後來這類數字便被稱為“出租車數”。截至當下，僅僅發現了 6 組“出租車數”，其餘 4 組皆是借助超級計算機才得以發現。
由於當時英國正值第一次世界大戰，蔬菜短缺致使拉瑪努金嚴重營養不良，再加上戰爭期間他思鄉心切，拉瑪努金於 1919 年決定返迴印度。而迴到印度後短短不到一年，拉瑪努金便因病離世，享年 33 歲。哈代聽聞這一噩耗，悲痛欲絕，以至於後世有人傳言，神發覺拉瑪努金在泄露宇宙的秘密，於是過早地將他召迴。
在生命的最後一年，吉祥天女在夢中給予拉瑪努金最後一個靈感——模西塔函數。當這個公式初次現世時，無人能夠理解，即便是當時最為頂尖的數學家也不例外。直至 2012 年，數學家們才驚覺這個公式可用於描述黑洞行為。要知道，當拉瑪努金首次提出這一公式時，人們對黑洞還一無所知，人類甚至無法想象出未曾見過的事物。即便以現今的科技水平，對於黑洞的認知也不過是皮毛而已。拉瑪努金的這個公式仿佛是直接從上帝的知識寶庫中捧出真理，呈現在世人麵前。
有趣的是，當年劍橋大學曾盛行一種特殊的“證明”方式，即“拉瑪努金覺得是對的”。比如有人提出一個猜想，證明完畢後竟會寫上“拉瑪努金覺得是對的”。當年劍橋高層費盡周折，才遏製住這股不良風氣。
拉瑪努金過世後，哈代親自設計出一種評估個人數學天分的評分表，他自己僅得了 25 分，同時代最為偉大的德國數學家希爾伯特得了 80 分，而拉瑪努金則榮獲 100 分。希爾伯特便是那位曾宣稱愛因斯坦數學欠佳的人，愛因斯坦在這個榜單中的排名恐怕極為靠後。
倘若真如拉瑪努金所言，他所有的數學公式皆是在夢中由吉祥天女啟迪所得，那麽不妨大膽推測，那尚未被證明的三分之二的公式亦應是正確無誤的，並且必定蘊含著巨大的奧秘。近百年來，盡管我們目睹科技日新月異，見證一個個強大的科技產品不斷湧現，然而在科學家們心中卻深知，人類的基礎科學實則已陷入嚴重的停滯狀態，重要的物理定律已長達 100 年未曾更新。若沒有新型數學工具的誕生，人類麵對暗物質、暗能量之謎、黑洞內部構造、多維宇宙等諸多難題，或許將永遠無法取得突破，而解開這些謎題的關鍵，極有可能就隱匿於拉瑪努金的那些公式之中。有人推測，在未來，拉瑪努金的公式或許與時間旅行、反重力以及無限能源有著極為緊密的關聯。他給予了人類一座數學金礦，而目前這座金礦僅僅被開采了十分之一。現今有一批專門的數學家以研究拉瑪努金遺留的公式為生，他們的研究領域高度聚焦於拉瑪努金的手稿。例如比利時數學家德利涅於 1973 年證明了拉瑪努金 1916 年提出的一個猜想，並因此榮獲 1978 年的菲爾茲獎，這可是世界上最為崇高的數學獎項之一。
或許拉瑪努金真的是神派遣至人間傳播智慧的使者，然而愚昧的人類卻執著於要求證明與解釋過程。他的出現似乎暗示著一種可能，仿佛許多知識是徑直飛進他的腦海之中，而這媒介究竟是神，還是宇宙中存在著一個神秘的知識庫，令拉瑪努金能夠直接從中下載知識？牛頓耗費了一生中的後 40 年鑽研神學、研究煉金術，試圖證明上帝的存在。若再告知你，在迄今最為卓越的科學家中，有 80%以上都具有宗教信仰，都信奉神，不知你是否會感到震驚？在當代人類中最為偉大、最具權威的 20 位物理學家中，唯一在世的物理學家楊振寧先生，在一次采訪中被問及世界上是否真的存在造物主時，楊振寧先生迴答道：“我想是有的，因為整個世界的結構並非偶然。”特斯拉曾說過：“如果有一天科學家們開始研究非物理現象，那麽在未來 10 年中所獲得的成就將超越過去的所有。”這不禁令人心生疑慮，難道現今人類的發展方向是錯誤的嗎？
拉瑪努金，天生的遞歸思維
在我們所處的世界中，存在著兩種循環模式，一為迭代，一為遞歸。人類在很早之前便掌握了迭代式循環。就拿我們日常使用的十進製來說，它便是以 10 作為周期展開迭代的。再看那 12 個刻度，竟能精準地模擬無數次日出日落，且毫無差錯，仿佛天衣無縫。從宏觀層麵來看，我們的世界似乎正是以迭代的方式有條不紊地運行著。
然而，自第一顆原子彈爆炸的那一刻起，人類的目光被另一種循環方式——遞歸所吸引。遞歸循環引發了核鏈式反應，瞬間爆發出驚世駭俗的巨大能量。當時，科學家們甚至一度擔憂核鏈式反應的遞歸進程會永不停歇，進而致使整個地球演變成一顆超級巨型原子彈。萬幸的是，這種可怕的情形最終並未成為現實，我們依舊安然無恙地存活於世，繼續著平凡的生活，每日為生計奔波忙碌。由此可見，遞歸是一種極為強大且獨特的循環方式。計算機科學領域的大神彼得·多伊奇曾言：迭代乃是人類的思維模式，而遞歸，則是神的思維模式。他為何會有如此論斷呢？原因在於遞歸跳出了人類習以為常的思維框架，對人類的智商發起了嚴峻的挑戰。
讓我們以斐波那契數列為例加以闡釋。倘若要用一個表達式來描述它，便是這般模樣。或許有朋友會覺得這看起來似乎並不複雜。可要是依據式子的定義進一步拆解剖析，便會發覺事情遠非想象中那般簡單。在這個式子裏，f 加括號會持續地調用自身，最終趨向於一個無窮無盡的過程。
再來看另一個類似的遞歸過程，其式子呈現出這樣的形態。這個式子出現在一封信函之中，而寫信之人是印度的一位年輕小夥，收信者則是當時英國數學界的權威哈代。哈代乍一看到這個式子，頓感自己的思維陷入了混沌，仿佛大腦中的“cpu”被瞬間燒壞。這究竟是怎樣一個奇特的式子？它看上去簡直超乎尋常，令人匪夷所思。可當試著代入幾個數字進行驗證時，卻又發現它似乎是正確無誤的。哈代心想，這般奇妙的式子絕不能獨自承受其帶來的困惑與震撼。於是，他拿著這個式子找到了自己的同事，另一位英國數學家利特伍德，詢問其看法。利特伍德看後不禁讚歎道：“我從未見過如此美妙絕倫的式子，能夠寫下這個式子的必定是一位天才。”
哈代隨後給式子的作者迴了一封信，信中寫道：“你的式子精妙絕倫，然而你該如何證明它呢？”不久之後，哈代便收到了迴信。這封信與上一封如出一轍，同樣寫滿了眾多稀奇古怪的公式，並且還附帶了一句令人驚愕的疑問：“什麽叫證明？”哈代瞬間感覺自己的“cpu”再次遭受了沉重的打擊。“什麽叫什麽叫證明？”他滿心疑惑，於是決定深入了解這位印度年輕人。一番探尋後，他驚異地發現，這家夥竟真的對“證明”的概念一無所知。原來，他的數學知識幾乎全靠自學，更為離譜的是，他甚至連一本像樣的數學教科書都沒有，唯一的一本高等三角學還是從他人那裏借來的。也就是說，他獨自一人在數學的海洋中摸索前行，肆意推導，最終得出了上千個奇異獨特的數學公式，而且其中絕大多數都是遞歸形式的。這無疑是一位天生就對遞歸思維有著極高天賦的人，不，與其說是人，倒不如說是神。這位年輕人便是拉馬努金。
拉馬努金生活在印度南部的赤貧地區，其貧困程度超乎想象，用“窮到全家共穿一條褲子”來形容他絲毫不為過。好在當時他為一家本地商人記賬，而這位商人出於善意，將他的公式寄給了英國的幾所大學。幸運的是，哈代正是其中一位收件人。至於其他幾位收件人，一看到這些奇怪的公式，又不見證明過程，便毫不猶豫地將其丟進了垃圾桶。哈代則費盡心思將拉馬努金帶到了劍橋大學。這對於拉馬努金而言，既是幸運的開端，卻也可能是不幸的起始。
拉馬努金極不適應英國的生活。有一次，一位同學前往他的宿舍探望，關切地詢問他生活是否有困難。拉馬努金迴答道：“別的倒還好，隻是晚上太冷了。”同學聽後倍感詫異，便問他是如何睡覺的。拉馬努金隨即演示了一番，這一下可把同學驚得目瞪口呆。原來，拉馬努金竟然睡在被子的上麵，沒錯，他把被子當作床墊鋪在了身體下方。同學見狀，既覺好笑又感無奈，隨後親自示範道：“親愛的，你先掀開被子，然後鑽進去，再把被子蓋上。對，就是這樣，這樣就暖和多了。”拉馬努金見狀，頓時喜出望外，連聲道謝：“哎呀，原來還有如此奇妙的方法。”
數年之後，拉馬努金功成名就，榮歸故裏，在印度受到了英雄般的熱烈歡迎。然而，令人費解的是，他迴到印度不久後便與世長辭，這成為了一個曆史未解之謎。或許有人會猜測，他是因為飲用了恆河水而導致不幸離世。
今日我們有幸領略了拉馬努金的遞歸式思維，不得不承認，天生具備這種遞歸思維的人著實令人驚歎不已。
他因為泄漏宇宙秘密，被神封號# 數學未解之謎
世界上或許唯有他能夠以獨特的方式探索圓周率的奧秘。從割圓法到無窮級數，人類耗費了長達 1900 年的漫長時光，才將圓周率精確到 100 位小數。然而，這位印度天才拉瑪努金隨手寫下的一個簡潔公式，卻使圓周率的計算邁向了一個人類難以企及的全新高度。當取 k = 0 時，圓周率便能達到特定的精度；而隨著 k 每增加 1，有效數字竟能提升 8 倍之多。如今計算機能夠計算出圓周率到 62.8 萬億位，很大程度上依賴於這個公式的變體。更為神奇的是，那個被公認為世界上收斂速度最快的圓周率公式，拉瑪努金宣稱是印度女神在夢中賜予他的靈感。每當他進入冥想狀態，一個個超乎常人想象、如同天書般的數學公式和定理便會自然而然地浮現於腦海之中。
1913 年，英國頂尖數學家哈代收到了一份來自印度的神秘手稿，上麵密密麻麻地寫滿了令人費解的玄學公式。盡管哈代起初無法理解其中深意，但內心卻深受震撼，他堅信這必定出自一位與牛頓齊名的天才之手。於是，在哈代的賞識與舉薦下，出身貧寒且早早輟學、純粹依靠自學鑽研數學的拉瑪努金，有幸踏入劍橋三一學院深造，與華羅庚成為同門師兄弟。
拉瑪努金擅長以一種仿若上帝俯瞰眾生般的視角來剖析數學。他秉持著宇宙萬物皆可由數學闡釋的理念，例如他曾巧妙地將圓周率、自然對數、黃金分割整合於一個公式之中，其精妙絕倫之處令常人驚歎不已，而這個公式如今在超弦定理中得以應用，用於證明十一維時空的存在。更令人毛骨悚然的是，他臨終前所留下的公式，在 2012 年竟被發現精準地描述了黑洞的行為模式與奇點特征，而彼時的人類對黑洞的認知還極為有限。直至今日，仍有一批數學家以研究拉瑪努金遺留的 3900 多個尚未被證明的公式作為畢生的追求與事業。倘若他能享年 99 歲，當今世界的科技究竟會發展至何種令人難以想象的境界，實在是令人不敢妄加揣測。
拉馬努金:把蘋果放在大家麵前，難道還需要證明那是蘋果嗎？
唯一一個把卷積網絡(gpu)，當邏輯網絡(cpu)來用的人。
作者認為，在認知體係中，當某專業信息的整體邏輯抽象維度運作達到3^3維及以上時，我們或許能夠訪問宇宙總信息庫中的專業知識，或者說，能夠按需生成真理級別的知識。也就是說，神經網絡的隱藏層是有限的，但隻要我們不斷進行運算（迭代），就有可能觸達真理，甚至實現觸類旁通。換句話說，在信息熵的概念中，存在熵增的最大值和熵減的最小值，這意味著矩陣信息流中的信息具有一個最高的容量上限或有限位數限製。
一種比較讓人信服的解釋，就是就是你的顯意識不斷運算一種東西，比如遞歸思維。你的潛意識就會認為這件很重要，甚至關乎生存時，才會把遞歸思維自動程序化，就是一種極限逼近向內循環，潛意識就會日夜不停的尋找各種公式，然後以夢的形式，通知你計算結果。由於你對公式的極度熱愛與敏感，本來夢醒很快被遺忘的夢中複雜公式，被你一字不差的記了下來。這是為什麽能每天穩定夢得到6個公式的原因。6個也是此遞歸思維自動程序的日常計算量。